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本文主要介绍了图像导数
，梯度，边缘信息及Python实现卷积及Prewitt算子的边缘检测等内容 。
本文来自于 博客园，由火龙果软件Anna编辑，推荐。 |
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如果需要检测到图像里面的边缘，首先我们需要知道边缘处具有什么特征。
对于一幅灰度图像来说，边缘两边的灰度值肯定不相同，这样我们才能分辨出哪里是边缘，哪里不是。
因此，如果我们需要检测一个灰度图像的边缘，我们需要找出哪里的灰度变化最大。显然，灰度变化越大，对比度越强，边缘就越明显。
那么问题来了，我们怎么知道哪里灰度变化大，哪里灰度变化小呢？
导数，梯度，边缘信息
在数学中，与变化率有关的就是导数。
如果灰度图像的像素是连续的(实际不是)，那么我们可以分别原图像G对x方向和y方向求导数
 ，
获得x方向的导数图像Gx和y方向的导数图像Gy。Gx和Gy分别隐含了x和y方向的灰度变化信息，也就隐含了边缘信息。
如果要在同一图像上包含两个方向的边缘信息，我们可以用到梯度。（梯度是一个向量）
原图像的梯度向量Gxy为（Gx,Gy）,梯度向量的大小和方向可以用下面两个式子计算
角度值好像需要根据向量所在象限不同适当+pi或者-pi。
梯度向量大小就包含了x方向和y方向的边缘信息。
图像导数
实际上，图像矩阵是离散的。
连续函数求变化率用的是导数，而离散函数求变化率用的是差分。
差分的概念很容易理解，就是用相邻两个数的差来表示变化率。
下面公式是向后差分
x方向的差分：Gx(n,y) = G(n,y)-G(n-1,y)
y方向的差分：Gy(x,n) = G(x,n)-G(x,n-1)
实际计算图像导数时，我们是通过原图像和一个算子进行卷积来完成的(这种方法是求图像的近似导数)。
最简单的求图像导数的算子是 Prewitt算子 ：
x方向的Prewitt算子为
y方向的Prewitt算子为
原图像和一个算子进行卷积的大概过程如下
如果图像矩阵中一块区域为
那么x5处的x方向的导数是，将x方向算子的中心和x5重合，然后对应元素相乘再求和，即
x5处的x方向导数为x3+x6+x9-x1-x4-x7
对矩阵中所有元素进行上述计算，就是卷积的过程。
因此，利用原图像和x方向Prewitt算子进行卷积就可以得到图像的x方向导数矩阵Gx，
利用原图像和y方向Prewitt算子进行卷积就可以得到图像的y方向导数矩阵Gy。
利用公式
就可以得到图像的梯度矩阵Gxy，这个矩阵包含图像x方向和y方向的边缘信息。
Python实现卷积及Prewitt算子的边缘检测
首先我们把图像卷积函数封装在一个名为imconv的函数中 ( 实际上，scipy库中的signal模块含有一个二维卷积的方法convolve2d()
)
复制代码
import numpy as np
from PIL import Image
def imconv(image_array,suanzi):
'''计算卷积
参数
image_array 原灰度图像矩阵
suanzi 算子
返回
原图像与算子卷积后的结果矩阵
'''
image = image_array.copy() # 原图像矩阵的深拷贝
dim1,dim2 = image.shape
# 对每个元素与算子进行乘积再求和(忽略最外圈边框像素)
for i in range(1,dim1-1):
for j in range(1,dim2-1):
image[i,j] = (image_array[(i-1):(i+2), (j-1):(j+2)]*suanzi).sum()
# 由于卷积后灰度值不一定在0-255之间，统一化成0-255
image = image*(255.0/image.max())
# 返回结果矩阵
return image |
然后我们利用Prewitt算子计算x方向导数矩阵Gx，y方向导数矩阵Gy，和梯度矩阵Gxy。
import numpy
as np
import matplotlib.pyplot as plt
# x方向的Prewitt算子
suanzi_x = np.array([[-1, 0, 1],
[ -1, 0, 1],
[ -1, 0, 1]])
# y方向的Prewitt算子
suanzi_y = np.array([[-1,-1,-1],
[ 0, 0, 0],
[ 1, 1, 1]])
# 打开图像并转化成灰度图像
image = Image.open("pika.jpg").convert("L")
# 转化成图像矩阵
image_array = np.array(image)
# 得到x方向矩阵
image_x = imconv(image_array,suanzi_x)
# 得到y方向矩阵
image_y = imconv(image_array,suanzi_y)
# 得到梯度矩阵
image_xy = np.sqrt(image_x**2+image_y**2)
# 梯度矩阵统一到0-255
image_xy = (255.0/image_xy.max())*image_xy
# 绘出图像
plt.subplot(2,2,1)
plt.imshow(image_array,cmap=cm.gray)
plt.axis("off")
plt.subplot(2,2,2)
plt.imshow(image_x,cmap=cm.gray)
plt.axis("off")
plt.subplot(2,2,3)
plt.imshow(image_y,cmap=cm.gray)
plt.axis("off")
plt.subplot(2,2,4)
plt.imshow(image_xy,cmap=cm.gray)
plt.axis("off")
plt.show()
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Prewitt算子 的结果如下图所示
上方：左图为原图像，右图为x方向导数图像
下方：左图为y方向导数图像，右图为梯度图像
从图中可以看出，Prewitt算子虽然能检测出图像边缘，但是检测结果较为粗糙，还带有大量的噪声。
近似导数的Sobel算子
Sobel算子与Prewitt比较类似，但是它比Prewitt算子要好一些。
x方向的Sobel算子为
y方向的Sobel算子为
python代码只需要将上面代码中的Prewitt算子改成Sobel算子即可。
# x方向的Sobel算子
suanzi_x = np.array([[-1, 0, 1],
[ -2, 0, 2],
[ -1, 0, 1]])
# y方向的Sobel算子
suanzi_y = np.array([[-1,-2,-1],
[ 0, 0, 0],
[ 1, 2, 1]]) |
Sobel算子 的结果如下图所示
上方：左图为原图像，右图为x方向导数图像
下方：左图为y方向导数图像，右图为梯度图像
从图中看出，比较Prewitt算子和Sobel算子，Sobel算子稍微减少了一点噪声，但噪声还是比较多的。
近似二阶导数的Laplace算子
Laplace算子是一个二阶导数的算子，它实际上是一个x方向二阶导数和y方向二阶导数的和的近似求导算子。
实际上，Laplace算子是通过Sobel算子推导出来的。
Laplace算子为
Laplace还有一种扩展算子为
为了不再重复造轮子，这次我们运用scipy库中signal模块的convolve()方法来计算图像卷积。
convolve()的第一个参数是原图像矩阵，第二个参数为卷积算子，然后指定关键字参数mode="same"(输出矩阵大小和原图像矩阵相同)。
import numpy
as np
from PIL import Image
import matplotlib.pyplot as plt
import matplotlib.cm as cm
import scipy.signal as signal # 导入sicpy的signal模块
# Laplace算子
suanzi1 = np.array([[0, 1, 0],
[1,-4, 1],
[0, 1, 0]])
# Laplace扩展算子
suanzi2 = np.array([[1, 1, 1],
[1,-8, 1],
[1, 1, 1]])
# 打开图像并转化成灰度图像
image = Image.open("pika.jpg").convert("L")
image_array = np.array(image)
# 利用signal的convolve计算卷积
image_suanzi1 = signal.convolve2d(image_array,suanzi1,mode="same")
image_suanzi2 = signal.convolve2d(image_array,suanzi2,mode="same")
# 将卷积结果转化成0~255
image_suanzi1 = (image_suanzi1/float (image_suanzi1.max()))*255
image_suanzi2 = (image_suanzi2/float (image_suanzi2.max()))*255
# 为了使看清边缘检测结果，将大于灰度平均值的灰度变成255(白色)
image_suanzi1[image_suanzi1> image_suanzi1.mean()]
= 255
image_suanzi2[image_suanzi2> image_suanzi2.mean()]
= 255
# 显示图像
plt.subplot(2,1,1)
plt.imshow(image_array,cmap=cm.gray)
plt.axis("off")
plt.subplot(2,2,3)
plt.imshow(image_suanzi1,cmap=cm.gray)
plt.axis("off")
plt.subplot(2,2,4)
plt.imshow(image_suanzi2,cmap=cm.gray)
plt.axis("off")
plt.show() |
结果如下图
其中上方为原图像
下方：左边为Laplace算子结果，右边为Laplace扩展算子结果
从结果可以看出，laplace算子似乎比前面两个算子（prewitt算子和Sobel算子）要好一些，噪声减少了，但还是比较多。
而Laplace扩展算子的结果看上去比Laplace的结果少一些噪声。
降噪后进行边缘检测
为了获得更好的边缘检测效果，可以先对图像进行模糊平滑处理，目的是去除图像中的高频噪声。
python程序如下
首先用标准差为5的5*5高斯算子对图像进行平滑处理，然后利用Laplace的扩展算子对图像进行边缘检测。
import numpy
as np
from PIL import Image
import matplotlib.pyplot as plt
import matplotlib.cm as cm
import scipy.signal as signal
# 生成高斯算子的函数
def func(x,y,sigma=1):
return 100*(1/(2*np.pi*sigma)) *np.exp(-((x-2)**2+(y-2)**2)/(2.0*sigma**2))
# 生成标准差为5的5*5高斯算子
suanzi1 = np.fromfunction(func,(5,5),sigma=5)
# Laplace扩展算子
suanzi2 = np.array([[1, 1, 1],
[1,-8, 1],
[1, 1, 1]])
# 打开图像并转化成灰度图像
image = Image.open("pika.jpg").convert("L")
image_array = np.array(image)
# 利用生成的高斯算子与原图像进行卷积对图像进行平滑处理
image_blur = signal.convolve2d(image_array,
suanzi1, mode= "same")
# 对平滑后的图像进行边缘检测
image2 = signal.convolve2d(image_blur, suanzi2,
mode="same")
# 结果转化到0-255
image2 = (image2/float(image2.max()))*255
# 将大于灰度平均值的灰度值变成255（白色），便于观察边缘
image2[image2>image2.mean()] = 255
# 显示图像
plt.subplot(2,1,1)
plt.imshow(image_array,cmap=cm.gray)
plt.axis("off")
plt.subplot(2,1,2)
plt.imshow(image2,cmap=cm.gray)
plt.axis("off")
plt.show()
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结果如下图
从图中可以看出，经过降噪处理后，边缘效果较为明显。
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