| IT互联网行业有个有趣现象，玩资本的人、玩产品的人、玩技术的人都能很好的在这个行业找到自己的位置并取得成功，而且可以只懂其中一样，不需要懂其余两样。玩技术的人是里面最难做的，也是三者收益最低的，永远都要不停学习，不停把画饼变成煎饼。
在今年5月底，Alphago又战胜了围棋世界冠军柯洁，AI再次呈现燎原之势席卷科技行业，吸引了众多架构师对这个领域技术发展的持续关注和学习，思考AI如何做工程化，如何把我们系统的应用架构、中间件分布式架构、大数据架构跟AI相结合，面向什么样的应用场景落地，对未来做好技术上的规划和布局。
之前发表过一篇文章《如何用70行Java代码实现深度神经网络算法》（点击「阅读原文」获得文章），记录了深度神经网络的计算过程和程序实现，本文再进一步研究一下背后的数学原理。
为了彻底理解深度学习，我们到底需要掌握哪些数学知识呢？经常看到会列出一系列数学科目：微积分、线性代数、概率论、复变函数、数值计算等等。这些数学知识有相关性，但实际上这是一个最大化的知识范围，学习成本会非常久，本文尝试归纳理解深度学习所需要的最小化数学知识和推导过程。
多层神经网络的函数构成关系
多层神经网络从输入层，跨多个隐含层，到最后输出层计算误差，从数学上可以看做一系列函数的嵌套组合而成，上一层函数输出做为下一层函数输入，如下图1所示。
先从误差函数说起，深度学习的误差函数有典型的差平方函数，也有交叉熵函数，本文以差平方函数为例：
Tj代表每个神经元目标值，Oj代表每个神经元输出值
这里Oj=f(Zj)，f是激活函数，一般是s函数：
或者relu函数：
Zj是线性函数（Wij泛指i层和j层节点连接权重，bj泛指j层节点截距）：
Oi再往前依次类推，整个神经网络都可以由上面的函数嵌套去表达。
现在我们的问题是，如何通过多次调整上面的Wij和bj，能让误差函数E达到最小值？
换言之，上面这个变量w和变量b应该怎么取值才能达到效果呢？为了回答这个问题，我们先看看误差函数的几何意义。
误差函数的几何意义及梯度下降
为了方便看懂，我们从二维和三维去理解误差函数，如果输出值Oj只有一项，并设定Tj=1，那么Oj和误差函数E刚好构成X,Y的坐标关系如图2所示：
也就是Oj只有一项的时候，误差函数E刚好就是一个简单的抛物线，可以看到它的底部在O=1的时候，这时E=0最小值。
那么，当O不等于1的时候，我们需要一种方法调整O，让O像一个小球一样，把抛物线看做碗，它沿着碗切面向下滚动，越过底部由于重力作用又返回，直到在底部的位置停止不动。什么方法能达到这样神奇的效果呢，就是数学家发明的导数，如果O每次减去一个导数的步长，在离底部远的地方，导数对应的正切值就大，下降就快，离底部近的地方，导数正切值就小，下降就慢，在底部O=1这个点导数为0，不再下降，并且越过底部后，导数的正切值变负数，于是又调整了它的方向，刚好达到重力一样的效果。我们把这种方法取个难懂的名字，叫做梯度下降。
再看看三维的几何意义，假设输出值为O1，O2两项，并设定T1=1，T2=1那么O1，O2和误差函数E刚好构成X，Y，Z的坐标关系如图3所示：
E=1/2(1-O1)2+1/2(1-O2)2
任意给定一个X，Y值，通过函数E计算得到一个Z值，形成一个三维曲面，最小值在谷底。我们继续使用上面的梯度下降方法，会产生一个问题，现在的变量是O1，O2两项，到底使用哪个求导数呢？根据上面的几何图形可以看到，如果O1，O2轴同时往谷底方向下降，那么E能达到最小值，可以试想O2等于一个常数，就相当于一个O1和E构成的二维截面，采用上面的方法减去O1导数的步长就能得到O1的变化量，同样将O1等于一个常数，能得到O2和E构成的二维截面，并求得O2的变化量。这种将其他变量视为常数，而只对当前变量求导的方法叫求偏导。
从上面得知对二元函数z=f(x,y)的梯度下降求法，是对每个X,Y求偏导，那么对于多元函数呢，也是一样的求法，只是多维世界的几何图形就很难表达了，因为我们生活在三维世界，很难想像出克莱因瓶这样的四维世界，瓶底通过第四维空间穿过瓶身去和瓶口相连，人类的眼睛也只能看到三维世界，世界上的三维物体能否通过第四维通道传送到另外一个位置上去呢，看上去像这个物体消失了，在其他地方又突然出现了，跑题了，言归正传。
由于导数的特点是到一个谷底就为0了，也就是不变化了，所以梯度下降求法有可能只到一个山窝里，没有到达最深的谷底，有局部最小值的缺陷，所以我们要不停调整初始参数，和进行多次的训练摸索，争取能碰到一个到达谷底的最好效果。
现在还有个问题，这里是以O为变量来解释梯度下降求法，但是其实我们要求的是Wij和bj的调整值，根据上面的结论，我们可以通过误差函数E对Wij和bj求偏导得到，步长为自己设置的一个常数，如下：
那么如何求呢，通过前面的第一部分的神经网络函数构成关系，Wij和bj到误差函数E是一个多层嵌套的函数关系，这里需要用到复合函数的求偏导方法，截至这里，我们理解了数学原理，再结合下面所用到的数学公式，就构成了推导所需要的最小化数学知识。
推导需要的数学公式
1、复合函数求偏导公式
2、导数四则运算公式
3、导数公式
我们只要记住上面3组公式，就可以支持下面完整的推导了。
数学推导过程
先将多层神经网络转成一个数学问题定义，如图4所示：
1、对于输出层的权重Wij和截距bj，通过误差函数E对Wij求偏导，由于函数E不能直接由Wij表达，我们根据第1组的复合函数求偏导公式，可以表达成Oj和Zj对Wij求偏导的方式：
由于Zj是线性函数我们是知道的
并且Oj是可以直接用Zj表达的：
所以E对Wij求偏导可以写成f(Zj)的导数表达，同样对bj求偏导也可以用f(Zj)的导数表达（记做推导公式一）
由于误差函数E是可以直接用Oj表达的，我们继续推导如下，根据第2组和第3组导数四则运算公式和导数公式：
最后得到一个只用f(Zj)的导数表达的通用公式，其中Oj是输出层的输出项，Oi是上一层的输出项：
从前面得知，Oj=f(Zj)，f是激活函数，一般是s函数或者relu函数，我们继续推导如下：
（1）如果激活函数是s函数，根据它的导数公式：
可以得到结论一（1），权重Wij和截距bj，的更新公式为：
（2）如果激活函数是relu函数，根据它的导数公式：
可以得到结论一（2），权重Wij和截距bj，的更新公式为：
2、除了对输出层的权重Wij和截距bj外，更普遍的隐含层权重Wki和截距bi更新应该如何去求呢？
我们仍然用误差函数E对Wki和bi求偏导，借助前面的推导公式一，可以得到
对于输出层来说，误差函数E可以直接用Oj表达，但是对于隐含层，误差函数E并不能直接用Oi表达，根据多层神经网络的函数构成关系，我知道Oj可以通过Oi向前传递进行一系列函数组合得到的。
由于深度学习不一定是全连接，我们假设Oi只和输出层j的s个节点相连接，下标记为j0到js，如上面图四所示，对于Oi来说，只跟和它节点相连接的Oj构成函数关系，跟不相连接的Oj没有函数关系，所以我们根据复合函数求偏导可以把不相连接的Oj视为常数。
并且，根据函数构成关系，Oi可直接构成Zjs，Zjs可直接构成Oj，根据复合函数求偏导公式的链式写法推导如下：
同时，对上式的Zjs来说，误差函数E对它求偏导，其余项可以视为常数：
所以，在上式的结果继续推导如下，可以完全用E对Zjs的偏导数来表达：
现在我们将误差函数E对Zjs的偏导数记做输出层相连节点的误差项，根据前面的推导公式一，在计算Wij更新值可以得到：
所以，隐含层的权重和截距更新，可以由输出层的误差项得到，同理也适用于其他隐含层，都可以由它的后一层（nextlayer）的误差项得到，下面是结论二，隐含层权重Wki和截距bi的更新公式为：
总结
通过掌握以上数学原理和推导，我们就理解了深度学习为什么要这样计算，接下来利用推导的结论一和结论二，可以完成深度学习的算法程序实现了，剩下的只是架构和工程化的问题。对卷积类的深度学习模型，为了降低训练复杂性，它的权重很多是相同的（权重共享），并且只和下一层部分神经元节点连接（局部连接），数学原理、计算方法、训练方式和上面是一样的，最终的模型结果都是得到一组参数，用该组参数保证误差函数最接近最小值。
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