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积分学背后的宗教之争
 
作者: 阿米尔·亚历山大 来源:环球科学 发布于 2015-7-1
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在1641年出版的《论重心》(De Centro Gravitatis,也称为Centrobaryca)第四卷中,保罗·古尔丁(Paul Guldin)对博纳文图拉·卡瓦列里(Bonaventura Cavalieri)的不可分量(indivisibles)提出了批评。古尔丁指出,卡瓦列里的证明并非古典数学所认可的构造性证明(constructive proof)。古尔丁所言无疑是正确的:在传统的欧几里得方法中,几何图形是借助尺规一步一步构造出来的。证明中的每一步都必须涉及这样一种构造,然后再推导出所构造图形的逻辑蕴涵。

但卡瓦列里的做法正好相反:他从抛物线、螺旋线等现成的几何图形出发,将它们分解为无穷多个部分。这个过程为“解构”而非“构造”,因为它的目的并非建立一个协调的几何图形,而是要破解已有图形的内在结构。

接着,古尔丁又考察了卡拉列里的理论基础,即面由无穷多条线组成,体由无穷多个面组成。古尔丁认为,这完全是无稽之谈:“任何几何学家都不会承认面的存在,更不用说什么‘面是该形体中所有线的集合’。”

换句话说,由于线没有宽度,无论将多少线并排放置,面积都将为零。因此,卡瓦列里试图从“面中所有线”的面积,来计算面的面积是荒谬的。随后,古尔丁得出,卡瓦列里的理论基础是,在一个图形的所有线与另一个图形的所有线之间确定一个比。但古尔丁认为,既然两组线都是无限的,将一个无限与另一个无限相比,没有任何意义,无论把一组不可分量增加多少倍,也不会超过另一组的不可分量。

整体来看,古尔丁对卡瓦列里理论的批评,体现了耶稣会(Jesuit) 数学的核心原则。耶稣会数学传统的创始人克里斯托弗·克拉维乌斯(Christopher Clavius)及其继承者都认为,数学必须以演绎的方式系统进行,即由简单到复杂,推出图形之间的普遍关系。构造性证明正是这一理念的体现。由这种方法产生了一种严格的、有等级结构的数理逻辑,它表明了抽象原理是如何通过系统演绎,构造出一个确定的理性世界,在这个世界中,存在着普适和无可置疑的真理。这也道出了耶稣会士研究这一领域的主要原因。正如克拉维乌斯指出,在这方面,欧几里得几何学比其他任何科学都更接近耶稣会关于确定性、等级结构和秩序的理念。因此,古尔丁坚持构造性证明,并非像卡瓦列里及朋友所认为的那样,是出于迂腐或思想狭隘,而是体现了他本人所在宗教团体所固守的一些信念。

古尔丁不同意把面和体分成“所有线”和“所有面”,也是出于这个原因。在他看来,数学不仅必须有等级结构和构造性,还必须是完全理性和不含矛盾的。所以古尔丁认为,卡瓦列里的不可分量根本就不合逻辑,因为由不可分量组成连续体的观点,无法经受住理性的检验。古尔丁坚称,“既不存在也不可能存在的事物无法比较,它们必将导致悖论和矛盾,最终走向谬误”。

对耶稣会士而言,这种数学比没有数学还糟糕。在他们的观念中,数学的目的在于,为世界带来固有的秩序和稳定性,而不可分量方法,却只会带来困惑和混乱。如果这种错误体系被接受,数学将不再是永恒理性秩序的基石。耶稣会的梦想——建立一种像几何学真理那样,不容置疑的严格的宇宙等级结构,也注定会破灭。

古尔丁并没有在著作中解释,他反驳不可分量的更深层次的哲学理由,另外两位批评卡瓦列里理论的耶稣会数学家马里奥·贝蒂尼(Mario Bettini)和安德烈亚·塔凯(Andrea Tacquet)也没有解释。但古尔丁曾经近乎承认,有一些比数学问题更重要的议题处于危险中,他语焉不详地写道:“我并不认为应当出于某些理由来反驳不可分量方法,虽然对于那些理由,我必须永远保持沉默,”但他并没有解释那些“必须永远保持沉默”的理由是什么。作为数学家,这三个人有责任基于数学理由,而不是哲学或宗教理由来批评不可分量。如果他们声称自己这样做是出于神学或哲学上的考虑,那只会破坏他们在数学上的声誉。

那些当年参与不可分量争论的人,当然知道是什么东西处于危险中,正如耶稣团(Jesuat)数学家斯特凡诺·德利·安格利(Stefano Degli Angeli)曾半开玩笑半认真地写道,他并不知道是“什么精神”在驱动着耶稣会数学家。除了极少数例外,这场争论始终是数学层面上的,是受过良好训练的专业人士,就数学中应当采用何种程序而展开的争论。

1642年,卡瓦列里第一次遭到古尔丁批评时,他立即着手给出了详细的反驳意见。起初,他打算以“朋友间对话”的形式作出回应,这是他的老师伽利略喜欢的风格。但他的朋友和数学同行吉安南托尼奥·罗卡(Giannantonio Rocca)看了他简短的草稿之后,建议他不要这样做。罗卡警告说,最好不要使用煽动性的对话形式,那些俏皮话和高人一等的口气,可能会激怒强大的对手。罗卡建议,最好针对古尔丁的指责写一篇直接的回应,话题严格集中在数学议题上,尽量避免伽利略式的挑衅。罗卡没有明说,纵观卡瓦列里的所有著作,卡瓦列里根本没有伽利略那样的作家天赋,也没有能力以诙谐有趣的方式来表述复杂议题。好在卡瓦列里采纳了这位朋友的建议,给我们省去了一篇用他那沉闷晦涩风格写成的“对话”。卡瓦列里对古尔丁的回应,载于他1647年出版的最后一部论不可分量的著作 《六个几何学练习》 (Exercitationes Geometricae Sex)的第三个“练习”中,其标题相当直白:“论古尔丁”(In Guldinum)。

对古尔丁的批评,卡瓦列里似乎并不太过烦恼。他否认自己假定连续体由无穷多个不可分的部分组成,并声称他的方法并不依赖这一假设。如果你认为连续体由不可分量组成,那么你也同样会认为“所有线”合在一起确实组成了一个面,“所有面”组成了一个体;但如果你不承认线组成了面,那么你肯定会认为除了线无疑还有其他东西组成了面,除了面还有其他东西组成了体。卡瓦列里指出,这些所谓的“其他东西”与不可分量方法毫无关系,不可分量方法是把一个图形的所有线或所有面,与另一个图形的所有线或所有面进行比较,而不考虑它们是否真的组成了形体。

从学术角度来看,卡瓦列里这里的论点也许可以接受,但显得不够真诚。只要读过《六个几何学练习》或1635年出版的《不可分量的几何学》(Geometria Indivisibilibus),你就会发现,这两本书都传递着一个概念,即连续体由不可分量组成。古尔丁要卡瓦列里解释关于连续体的观点,这无可非议,而这位耶稣团成员做出的辩解似乎相当无力。

对于古尔丁坚称“一个无限与另一个无限之比没有意义”,卡瓦列里的回应同样不能令人信服。卡瓦列里将无限分成了两种,声称一个“绝对无限”与另一个“绝对无限”之比的确没有意义,但所有线和所有面并非绝对无限,而是一种“相对无限”。然后他提出,这种相对无限与另一个相对无限的确可以相比。和以前一样,卡瓦列里一直从深奥难懂的专业角度来捍卫自己的方法,他的数学家同行有的对此认可,有的则不认可。无论如何,卡瓦列里没有在自己的论证中,表达不可分量方法所蕴涵的“精神”。

直到古尔丁指责他没有恰当地“构造”图形时,卡瓦列里才第一次道出他的数学思想。这时的卡瓦列里已经失去了耐心,显露出了本色。古尔丁声称,几何证明中的每一个图形、角和线都必须根据基本规则细致地构造出来,卡瓦列里则断然否认这一点。他写道:“要使证明为真,无须实际绘出这些类似的图形,只要假设已在思想中将它们绘出就足够了。”

这才是古尔丁与卡瓦列里之间、耶稣会士与不可分量论者之间的真正分歧。在耶稣会士看来,数学的目的是构造一个确定、永恒不变的世界,其秩序和等级结构永远不会受到挑战。因此,世界中的每一个东西都必须用理性的方式细致地构造出来,绝不能容许任何矛盾或悖论存在。这是一种“自上而下”的数学,其目的是赋予世界理性和秩序,否则世界会混乱不堪。

而在卡瓦列里等不可分量论者看来,情况正好相反:数学始于人们对物质世界的直觉——面由线组成,体由面组成,正如布匹由线织成,书本由书页编成。这些形体无须理性地构造出,因为我们知道,它们已经存在于世界之中。所需的只是对它们做出假设,然后研究其内在结构。如果我们遇到看似悖论或矛盾的情形,那只是因为我们的理解力有限,还没有掌握世界的本质,终有一天这些悖论会被理顺,并成为我们研究世界的工具。我们不能因为害怕出现悖论,而不去探究几何图形的内在结构,以及隐藏在它们之间的关系。

在古尔丁这样的古典数学家看来,把数学建立在一种含糊不清的直觉上,是十分荒谬的。他以嘲讽的语气质问卡瓦列里,“将由谁来判断几何构造的真理,手、眼,还是理智?”卡瓦列里则认为,古尔丁坚持要避免悖论,是毫无意义的迂腐之见,人人都知道这些形体确实存在,声称它们不应存在,是没有意义的。在卡瓦列里看来,这种吹毛求疵可能会导致严重后果——如果古尔丁获胜,一种强有力的方法将会就此失去,数学本身也将被辜负。

   
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